Линейные неравенства. Подробная теория с примерами. Линейные неравенства Свойства линейных неравенств с одной переменной
Теперь можно разбираться, как решаются линейные неравенства a·x+b<0 (они могут быть записаны и с помощью любого другого знака неравенства).
Основной способ их решения заключается в использовании равносильных преобразований, позволяющих прийти при a≠0 к элементарным неравенствам вида x
, ≥), p - некоторое число, которые и являются искомым решением, а при a=0 – к числовым неравенствам вида a
, ≥), из которых делается вывод о решении исходного неравенства. Его мы и разберем в первую очередь.
Также не помешает взглянуть на решение линейных неравенств с одной переменной и с других позиций. Поэтому, мы еще покажем, как можно решить линейное неравенство графически и методом интервалов.
Используя равносильные преобразования
Пусть нам нужно решить линейное неравенство a·x+b<0 (≤, >, ≥). Покажем, как это сделать, используя равносильные преобразования неравенства .
Подходы при этом различаются в зависимости от равенства или неравенства нулю коэффициента a при переменной x . Рассмотрим их по очереди. Причем при рассмотрении будем придерживаться схемы из трех пунктов: сначала будем давать суть процесса, дальше – алгоритм решения линейного неравенства, наконец, приводить решения характерных примеров.
Начнем с алгоритма решения линейного неравенства a·x+b<0 (≤, >, ≥) при a≠0 .
- Во-первых, число b переносится в правую часть неравенства с противоположным знаком. Это позволяет перейти к равносильному неравенству a·x<−b (≤, >, ≥).
- Во-вторых, проводится деление обеих частей полученного неравенства на отличное от нуля число a . При этом, если a – положительное число, то знак неравенства сохраняется, а если a - отрицательное число, то знак неравенства изменяется на противоположный. В результате получается элементарное неравенство, равносильное исходному линейному неравенству, оно и является ответом.
Остается разобраться с применением озвученного алгоритма на примерах. Рассмотрим, как с его помощью решаются линейные неравенства при a≠0 .
Пример.
Решите неравенство 3·x+12≤0 .
Решение.
Для данного линейного неравенства имеем a=3 и b=12 . Очевидно, коэффициент a при переменной x отличен от нуля. Воспользуемся соответствующим алгоритмом решения, приведенным выше.
Во-первых, переносим слагаемое 12 в правую часть неравенства, не забывая изменить его знак, то есть, в правой части окажется −12 . В результате приходим к равносильному неравенству 3·x≤−12 .
И, во-вторых, делим обе части полученного неравенства на 3 , так как 3 – число положительное, то знак неравенства не изменяем. Имеем (3·x):3≤(−12):3 , что то же самое x≤−4 .
Полученное элементарное неравенство x≤−4 равносильно исходному линейному неравенству и является его искомым решением.
Итак, решением линейного неравенства 3·x+12≤0 является любое действительное число, меньшее или равное минус четырем. Ответ можно записать и в виде числового промежутка , отвечающего неравенству x≤−4 , то есть, как (−∞, −4] .
Приобретя сноровку в работе с линейными неравенствами, их решения можно будет записывать кратко без пояснений. При этом сначала записывают исходное линейное неравенство, а ниже – равносильные ему неравенства, получающиеся на каждом шаге решения:
3·x+12≤0
;
3·x≤−12
;
x≤−4
.
Ответ:
x≤−4 или (−∞, −4] .
Пример.
Укажите все решения линейного неравенства −2,7·z>0 .
Решение.
Здесь коэффициент a при переменной z равен −2,7 . А коэффициент b отсутствует в явном виде, то есть, он равен нулю. Поэтому, первый шаг алгоритма решения линейного неравенства с одной переменной выполнять не нужно, так как перенос нуля из левой части в правую не изменит вид исходного неравенства.
Остается разделить обе части неравенства на −2,7 , не забыв изменить знак неравенства на противоположный, так как −2,7 – отрицательное число. Имеем (−2,7·z):(−2,7)<0:(−2,7) , и дальше z<0 .
А теперь кратко:
−2,7·z>0
;
z<0
.
Ответ:
z<0 или (−∞, 0) .
Пример.
Решите неравенство .
Решение.
Нам нужно решить линейное неравенство с коэффициентом a
при переменной x
, равным −5
, и с коэффициентом b
, которому отвечает дробь −15/22
. Действуем по известной схеме: сначала переносим −15/22
в правую часть с противоположным знаком, после чего выполняем деление обеих частей неравенства на отрицательное число −5
, изменяя при этом знак неравенства:
В последнем переходе в правой части используется , затем выполняется .
Ответ:
Теперь переходим к случаю, когда a=0 . Принцип решения линейного неравенства a·x+b<0 (знак, естественно, может быть и другим) при a=0 , то есть, неравенства 0·x+b<0 , заключается в рассмотрении числового неравенства b<0 и выяснении, верное оно или нет.
На чем это основано? Очень просто: на определении решения неравенства . Каким образом? Да вот каким: какое бы значение переменной x мы не подставили в исходное линейное неравенство, мы получим числовое неравенство вида b<0 (так как при подстановке любого значения t вместо переменной x мы имеем 0·t+b<0 , откуда b<0 ). Если оно верное, то это означает, что любое число является решением исходного неравенства. Если же числовое неравенство b<0 оказывается неверным, то это говорит о том, что исходное линейное неравенство не имеет решений, так как не существует ни одного значения переменной, которое обращало бы его в верное числовое равенство.
Сформулируем приведенные рассуждения в виде алгоритма решения линейных неравенств 0·x+b<0 (≤, >, ≥) :
- Рассматриваем числовое неравенство b<0 (≤, >, ≥) и
- если оно верное, то решением исходного неравенства является любое число;
- если же оно неверное, то исходное линейное неравенство не имеет решений.
А теперь разберемся с этим на примерах.
Пример.
Решите неравенство 0·x+7>0 .
Решение.
Для любого значения переменной x линейное неравенство 0·x+7>0 обратится в числовое неравенство 7>0 . Последнее неравенство верное, следовательно, любое число является решением исходного неравенства.
Ответ:
решением является любое число или (−∞, +∞) .
Пример.
Имеет ли решения линейное неравенство 0·x−12,7≥0 .
Решение.
Если подставить вместо переменной x любое число, то исходное неравенство обратиться в числовое неравенство −12,7≥0 , которое неверное. А это значит, что ни одно число не является решением линейного неравенства 0·x−12,7≥0 .
Ответ:
нет, не имеет.
В заключение этого пункта разберем решения двух линейных неравенств, оба коэффициента которых равны нулю.
Пример.
Какое из линейных неравенств 0·x+0>0 и 0·x+0≥0 не имеет решений, а какое – имеет бесконечно много решений?
Решение.
Если вместо переменной x подставить любое число, то первое неравенство примет вид 0>0 , а второе – 0≥0 . Первое из них неверное, а второе – верное. Следовательно, линейное неравенство 0·x+0>0 не имеет решений, а неравенство 0·x+0≥0 имеет бесконечно много решений, а именно, его решением является любое число.
Ответ:
неравенство 0·x+0>0 не имеет решений, а неравенство 0·x+0≥0 имеет бесконечно много решений.
Методом интервалов
Вообще, метод интервалов изучается в школьном курсе алгебры позже, чем проходится тема решение линейных неравенств с одной переменной. Но метод интервалов позволяет решать самые разные неравенства, в том числе и линейные. Поэтому, остановимся на нем.
Сразу заметим, что метод интервалов целесообразно применять для решения линейных неравенств с отличным от нуля коэффициентом при переменной x . В противном случае вывод о решении неравенства быстрее и удобнее сделать способом, разобранным в конце предыдущего пункта.
Метод интервалов подразумевает
- введение функции, отвечающей левой части неравенства, в нашем случае – линейной функции y=a·x+b ,
- нахождение ее нулей, которые разбивают область определения на промежутки,
- определение знаков, которые имеют значения функции на этих промежутках, на основе которых делается вывод о решении линейного неравенства.
Соберем эти моменты в алгоритм , раскрывающий как решать линейные неравенства a·x+b<0 (≤, >, ≥) при a≠0 методом интервалов:
- Находятся нули функции y=a·x+b , для чего решается a·x+b=0 . Как известно, при a≠0 оно имеет единственный корень, который обозначим x 0 .
- Строится , и на ней изображается точка с координатой x 0 . Причем, если решается строгое неравенство (со знаком < или >), то эту точку делают выколотой (с пустым центром), а если нестрогое (со знаком ≤ или ≥), то ставят обычную точку. Эта точка разбивает координатную прямую на два промежутка (−∞, x 0) и (x 0 , +∞) .
- Определяются знаки функции y=a·x+b на этих промежутках. Для этого вычисляется значение этой функции в любой точке промежутка (−∞, x 0) , и знак этого значения и будет искомым знаком на промежутке (−∞, x 0) . Аналогично, знак на промежутке (x 0 , +∞) совпадает со знаком значения функции y=a·x+b в любой точке этого промежутка. Но можно обойтись без этих вычислений, а выводы о знаках сделать по значению коэффициента a : если a>0 , то на промежутках (−∞, x 0) и (x 0 , +∞) будут знаки − и + соответственно, а если a>0 , то + и −.
- Если решается неравенство со знаками > или ≥, то ставится штриховка над промежутком со знаком плюс, а если решаются неравенства со знаками < или ≤, то – со знаком минус. В результате получается , которое и является искомым решением линейного неравенства.
Рассмотрим пример решения линейного неравенства методом интервалов.
Пример.
Решите неравенство −3·x+12>0 .
Решение.
Коль скоро мы разбираем метод интервалов, то им и воспользуемся. Согласно алгоритму, сначала находим корень уравнения −3·x+12=0
, −3·x=−12
, x=4
. Дальше изображаем координатную прямую и отмечаем на ней точку с координатой 4
, причем эту точку делаем выколотой, так как решаем строгое неравенство:
Теперь определяем знаки на промежутках. Для определения знака на промежутке (−∞, 4)
можно вычислить значение функции y=−3·x+12
, например, при x=3
. Имеем −3·3+12=3>0
, значит, на этом промежутке знак +. Для определения знака на другом промежутке (4, +∞)
можно вычислить значение функции y=−3·x+12
, к примеру, в точке x=5
. Имеем −3·5+12=−3<0
, значит, на этом промежутке знак −. Эти же выводы можно было сделать на основании значения коэффициента при x
: так как он равен −3
, то есть, он отрицательный, то на промежутке (−∞, 4)
будет знак +, а на промежутке (4, +∞)
знак −. Проставляем определенные знаки над соответствующими промежутками:
Так как мы решаем неравенство со знаком >, то изображаем штриховку над промежутком со знаком +, чертеж принимает вид
По полученному изображению делаем вывод, что искомым решением является (−∞, 4) или в другой записи x<4 .
Ответ:
(−∞, 4) или x<4 .
Графическим способом
Полезно иметь представление о геометрической интерпретации решения линейных неравенств с одной переменной. Чтобы его получить, давайте рассмотрим четыре линейных неравенства с одной и той же левой частью: 0,5·x−1<0
, 0,5·x−1≤0
, 0,5·x−1>0
и 0,5·x−1≥0
, их решениями являются соответственно x<2
, x≤2
, x>2
и x≥2
, а также изобразим график линейной функции y=0,5·x−1
.
Несложно заметить, что
- решение неравенства 0,5·x−1<0 представляет собой промежуток, на котором график функции y=0,5·x−1 располагается ниже оси абсцисс (эта часть графика изображена синим цветом),
- решение неравенства 0,5·x−1≤0 представляет собой промежуток, на котором график функции y=0,5·x−1 находится ниже оси Ox или совпадает с ней (другими словами, не выше оси абсцисс),
- аналогично решение неравенства 0,5·x−1>0 есть промежуток, на котором график функции выше оси Ox (эта часть графика изображена красным цветом),
- и решение неравенства 0,5·x−1≥0 является промежутком, на котором график функции выше или совпадает с осью абсцисс.
Графический способ решения неравенств , в частности линейных, и подразумевает нахождение промежутков, на которых график функции, соответствующей левой части неравенства, располагается выше, ниже, не ниже или не выше графика функции, соответствующей правой части неравенства. В нашем случае линейного неравенства функция, отвечающая левой части, есть y=a·x+b , а правой части – y=0 , совпадающая с осью Ox .
Учитывая приведенную информацию, несложно сформулировать алгоритм решения линейных неравенств графическим способом :
- Строится график функции y=a·x+b (можно схематически) и
- при решении неравенства a·x+b<0 определяется промежуток, на котором график ниже оси Ox ,
- при решении неравенства a·x+b≤0 определяется промежуток, на котором график ниже или совпадает с осью Ox ,
- при решении неравенства a·x+b>0 определяется промежуток, на котором график выше оси Ox ,
- при решении неравенства a·x+b≥0 определяется промежуток, на котором график выше или совпадает с осью Ox .
Пример.
Решите неравенство графически.
Решение.
Построим эскиз графика линейной функции . Это прямая, которая убывает, так как коэффициент при x
– отрицательный. Еще нам понадобится координата точки его пересечения с осью абсцисс, она является корнем уравнения , который равен . Для наших нужд можно даже не изображать ось Oy
. Так наш схематический чертеж будет иметь такой вид
Так как мы решаем неравенство со знаком >, то нас интересует промежуток, на котором график функции выше оси Ox
. Для наглядности выделим эту часть графика красным цветом, а чтобы легко определить соответствующий этой части промежуток, подсветим красным цветом часть координатной плоскости, в которой расположена выделенная часть графика, так, как на рисунке ниже:
Интересующий нас промежуток представляет собой часть оси Ox , оказавшуюся подсвеченной красным цветом. Очевидно, это открытый числовой луч . Это и есть искомое решение. Заметим, что если бы мы решали неравенство не со знаком >, а со знаком нестрогого неравенства ≥, то в ответ пришлось бы добавить , так как в этой точке график функции совпадает с осью Ox .y=0·x+7 , что то же самое y=7 , задает на координатной плоскости прямую, параллельную оси Ox и лежащую выше нее. Следовательно, неравенство 0·x+7<=0 не имеет решений, так как нет промежутков, на которых график функции y=0·x+7 ниже оси абсцисс.
А графиком функции y=0·x+0 , что то же самое y=0 , является прямая, совпадающая с осью Ox . Следовательно, решением неравенства 0·x+0≥0 является множество всех действительных чисел.
Ответ:
второе неравенство, его решением является любое действительное число.
Неравенства, сводящиеся к линейным
Огромное количество неравенств с помощью равносильных преобразований можно заменить равносильным линейным неравенством, другими словами, свести к линейному неравенству. Такие неравенства называют неравенствами, сводящимися к линейным .
В школе почти одновременно с решением линейных неравенств рассматривают и несложные неравенства, сводящиеся к линейным. Они представляют собой частные случаи целых неравенств , а именно в их левой и правой части находятся целые выражения, которые представляют собой или линейные двучлены , или преобразуются к ним путем и . Для наглядности приведем несколько примеров таких неравенств: 5−2·x>0 , 7·(x−1)+3≤4·x−2+x , .
Неравенства, которые подобны по виду указанным выше, всегда можно свести к линейным. Это можно сделать путем раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых, перестановки слагаемых местами и переноса слагаемых из одной части неравенства в другую с противоположным знаком.
Например, чтобы свести неравенство 5−2·x>0 к линейному, достаточно переставить слагаемые в его левой части местами, имеем −2·x+5>0 . Для сведения второго неравенства 7·(x−1)+3≤4·x−2+x к линейному нужно немного больше действий: в левой части раскрываем скобки 7·x−7+3≤4·x−2+x , после этого приводим подобные слагаемые в обеих частях 7·x−4≤5·x−2 , дальше переносим слагаемые из правой части в левую 7·x−4−5·x+2≤0 , наконец, приводим подобные слагаемые в левой части 2·x−2≤0 . Подобным образом и третье неравенство можно свести к линейному неравенству.
Из-за того, что подобные неравенства всегда можно свести к линейным, некоторые авторы даже называют их тоже линейными. Но все же будем их считать сводящимися к линейным.
Теперь становится понятно, почему подобные неравенства рассматривают вместе с линейными неравенствами. Да и принцип их решения абсолютно такой же: выполняя равносильные преобразования, их можно привести к элементарным неравенствам, представляющим собой искомые решения.
Чтобы решить неравенство подобного вида можно его предварительно свести к линейному, после чего решить это линейное неравенство. Но рациональнее и удобнее поступать так:
- после раскрытия скобок собрать все слагаемые с переменной в левой части неравенства, а все числа – в правой,
- после чего привести подобные слагаемые,
- а дальше – выполнить деление обеих частей полученного неравенства на коэффициент при x (если он, конечно, отличен от нуля). Это даст ответ.
Пример.
Решите неравенство 5·(x+3)+x≤6·(x−3)+1 .
Решение.
Сначала раскроем скобки, в результате придем к неравенству 5·x+15+x≤6·x−18+1 . Теперь приведем подобные слагаемые: 6·x+15≤6·x−17 . Дальше переносим слагаемые с левую часть, получаем 6·x+15−6·x+17≤0 , и снова приводим подобные слагаемые (что приводит нас к линейному неравенству 0·x+32≤0 ) и имеем 32≤0 . Так мы пришли к неверному числовому неравенству, откуда делаем вывод, что исходное неравенство не имеет решений.
Ответ:
нет решений.
В заключение отметим, что существует и масса других неравенств, сводящихся к линейным неравенствам, или к неравенствам рассмотренного выше вида. Например, решение показательного неравенства 5 2·x−1 ≥1 сводится к решению линейного неравенства 2·x−1≥0 . Но об этом будем говорить, разбирая решения неравенств соответствующего вида.
Список литературы.
- Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Алгебра: 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2009. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-021134-5.
- Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.
- Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 2-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2008. - 287 с.: ил. ISBN 978-5-346-01027-2.
Линейное неравенство с одной переменной - это неравенство, которое можно привести к виду:
ax > b или ax < b .
Где x - это переменная, a - коэффициент, а b - свободный член.
Если a > 0, то, разделив обе части неравенства на a , получим:
Данные неравенства и определяют все значения переменной x , при которых данное неравенство будет верным. Оба неравенства можно изобразить с помощью числовых промежутков :
Обратите внимание, что в строгих неравенствах значение, с которым сравнивается переменная, не входит в множество значений самой переменной. В нестрогих неравенствах оно будет входить в множество допустимых значений:
Если a < 0, то, разделив обе части неравенства
ax > b или ax < b
на a и поменяв в них знак на противоположный, получим:
Все возможные значения данных неравенств мы уже рассмотрели выше.
Если a = 0, тогда неравенство примет вид:
0 · x > b или 0 · x < b
В первом случае: 0 · x > b , x ∈ (-∞; +∞), если b отрицательное число, в противном случае неравенство не имеет решений. Во втором случае: 0 · x < b , x ∈ (-∞; +∞), если b положительное число, в противном случае неравенство не имеет решений.
Равносильные неравенства
Равносильные неравенства - это неравенства, у которых совпадает множество решений. Неравенства, не имеющие решений, тоже считаются равносильными.
Неравенство, равносильное данному, получится, если:
- Перенести слагаемое из одной части неравенства в другую, изменив знак слагаемого на противоположный.
- Умножить или разделить обе части неравенства на одно и то же положительное число.
- Умножить или разделить обе части неравенства на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный.
Решение неравенств
Решить неравенство с одной переменной - это значит, найти все значения этой переменной, при которых данное неравенство верно, или убедиться, что таких значений у переменной нет.
Все неравенства с одной переменной решаются одинаково с помощью преобразований, которые могут выполняться в любом порядке. Список возможных преобразований, которые могут быть использованы для решения неравенств:
- освобождение от дробных членов,
- раскрытие скобок,
- перенос всех членов, содержащих переменную, в одну часть, а остальных – в другую (члены с переменными, как правило, переносят в левую часть неравенства),
- приведение подобных членов,
- деление обеих частей неравенства на коэффициент при переменной.
Пример 1.
8x - 2 > 14
Решение: Переносим -2 в правую часть:
8x > 14 + 2
8x > 16
Делим обе части неравенства на -8:
8x : (-8) < 16: (-8)
x < -2
Отмечаем множество значений x на координатной прямой:
Ответ: (-∞; -2)
Пример 2. Решить неравенство и изобразить множество решений на координатной прямой:
6(y + 12) ⩾ 3(y - 4)
Решение: Сначала раскрываем скобки:
6y + 72 ⩾ 3y - 12
Переносим 72 в правую часть, а 3y в левую и делаем приведение подобных слагаемых :
6y - 3y ⩾ -12 - 72
3y ⩾ -84
Делим обе части неравенства на коэффициент при неизвестном (на 3):
(3y ) : 3 ⩾ (- 84) : 3
y ⩾ -28
Отмечаем множество значений y на координатной прямой:
Ответ: [-28; +∞)
Романишина Дина Соломоновна, учитель математики гимназии №2 г. Хабаровска
1. Уравнения с одной переменной.
Равенство, содержащее переменную, называют уравнением с одной переменной, или уравнением с одним неизвестным. Например, уравнением с одной переменной является равенство 3(2х+7)=4х-1.
Корнем или решением уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство. Например, число 1 является решением уравнения 2х+5=8х-1. Уравнение х2+1=0 не имеет решения, т.к. левая часть уравнения всегда больше нуля. Уравнение (х+3)(х-4) =0 имеет два корня: х1= -3, х2=4.
Решить уравнение - значит найти все его корни или доказать, что корней нет.
Уравнения называются равносильными, если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения и наоборот, все корни второго уравнения являются корнями первого уравнения или, если оба уравнения не имеют корней. Например, уравнения х-8=2 и х+10=20 равносильны, т.к. корень первого уравнения х=10 является корнем и второго уравнения, и оба уравнения имеют по одному корню.
При решении уравнений используются следующие свойства:
Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получите уравнение, равносильные данному.
Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
Уравнение ах=b, где х – переменная, а и b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.
Если а¹0, то уравнение имеет единственное решение
.Если а=0, b=0, то уравнению удовлетворяет любое значение х.
Если а=0, b¹0, то уравнение не имеет решений, т.к. 0х=b не выполняется ни при одном значении переменной.
Пример 1. Решить уравнение: -8(11-2х)+40=3(5х-4)
Раскроем скобки в обеих частях уравнения, перенесем все слагаемые с х в левую часть уравнения, а слагаемые, не содержащие х, в правую часть, получим:
16х-15х=88-40-12
Пример 2. Решить уравнения:
х3-2х2-98х+18=0;
Эти уравнения не являются линейными, но покажем, как можно решать такие уравнения.
3х2-5х=0; х(3х-5)=0. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, получаем х1=0; х2=
. .Разложить на множители левую часть уравнения:
х2(х-2)-9(х-2)=(х-2)(х2-9)=(х-2)(х-3)(х-3), т.е. (х-2)(х-3)(х+3)=0. Отсюда видно, что решениями этого уравнения являются числа х1=2, х2=3, х3=-3.
с) Представим 7х, как 3х+4х, тогда имеем: х2+3х+4х+12=0, х(х+3)+4(х+3)=0, (х+3)(х+4)=0, отсюда х1=-3, х2=- 4.
Ответ: -3; - 4.
Пример 3. Решить уравнение: ½х+1ç+½х-1ç=3.
Напомним определение модуля числа:
Например: ½3½=3, ½0½=0, ½- 4½= 4.
В данном уравнении под знаком модуля стоят числа х-1 и х+1. Если х меньше, чем –1, то число х+1 отрицательное, тогда ½х+1½=-х-1. А если х>-1, то ½х+1½=х+1. При х=-1 ½х+1½=0.
Таким образом,
Аналогично
а) Рассмотрим данное уравнение½х+1½+½х-1½=3 при х£-1, оно равносильно уравнению -х-1-х+1=3, -2х=3, х=
, это число принадлежит множеству х£-1.b) Пусть -1 < х £ 1, тогда данное уравнение равносильно уравнению х+1-х+1=3, 2¹3 уравнение не имеет решения на данном множестве.
с) Рассмотрим случай х>1.
х+1+х-1=3, 2х=3, х=
. Это число принадлежит множеству х>1.Ответ: х1=-1,5; х2=1,5.
Пример 4. Решить уравнение:½х+2½+3½х½=2½х-1½.
Покажем краткую запись решения уравнения, раскрывая знак модуля «по промежуткам».
х £-2, -(х+2)-3х=-2(х-1), - 4х=4, х=-2Î(-¥; -2]
–2<х£0, х+2-3х=-2(х-1), 0=0, хÎ(-2; 0]
0<х£1, х+2+3х=-2(х-1), 6х=0, х=0Ï(0; 1]
х>1, х+2+3х=2(х-1), 2х=- 4, х=-2Ï(1; +¥)
Ответ: [-2; 0]
Пример 5. Решить уравнение: (а-1)(а+1)х=(а-1)(а+2), при всех значениях параметра а.
В этом уравнении на самом деле две переменных, но считают х–неизвестным, а а–параметром. Требуется решить уравнение относительно переменной х при любом значении параметра а.
Если а=1, то уравнение имеет вид 0×х=0, этому уравнению удовлетворяет любое число.
Если а=-1, то уравнение имеет вид 0×х=-2, этому уравнению не удовлетворяет ни одно число.
Если а¹1, а¹-1, тогда уравнение имеет единственное решение
.Ответ: если а=1, то х – любое число;
если а=-1, то нет решений;
если а¹±1, то
.2. Системы уравнений с двумя переменными.
Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство. Решить систему - значит найти все ее решения или доказать, что их нет. Две системы уравнений называются равносильными, если каждое решение первой системы является решением второй системы и каждое решение второй системы является решением первой системы или они обе не имеют решений.
При решении линейных систем используют метод подстановки и метод сложения.
Пример 1. Решить систему уравнений:
Для решения этой системы применим метод подстановки. Выразим из первого уравнения х и подставим это значение
во второе уравнение системы, получим ,Ответ: (2; 3).
Пример 2. Решить систему уравнений:
Для решения этой системы применим метод сложения уравнений. 8х=16, х=2. Подставим значение х=2 в первое уравнение, получим 10-у=9, у=1.
Ответ: (2; 1).
Пример 3. Решить систему уравнений:
Эта система равносильна одному уравнению 2х+у=5, т.к. второе уравнение получается из первого умножением на 3. Следовательно, ей удовлетворяет любая пара чисел (х; 5-2х). Система имеет бесконечное множество решений.
Ответ: (х; 5-2х), х–любое.
Пример 4. Решить систему уравнений:
Умножим первое уравнение на –2 и сложим со вторым уравнением, получим 0×х+0×у=-6. Этому уравнению не удовлетворяет ни одна пара чисел. Следовательно, эта система не имеет решений.
Ответ: система не имеет решений.
Пример 5. Решить систему:
Из второго уравнения выражаем х=у+2а+1 и подставляем это значение х в первое уравнение системы, получаем
. При а=-2 уравнение не а=-2 имеет решения, если а¹-2, то .Ответ: при a=-2система не имеет решения,Пример 6. Решить систему уравнений:
Нам дана система из трех уравнений с тремя неизвестными. Применим метод Гаусса, который состоит в том, что равносильными преобразованиями приводят данную систему к треугольной форме. Прибавим к первому уравнению второе, умноженное на –2.
2х-2у-2z=-12
3х-3у-3z=-18
наконец прибавим к этому уравнению уравнение у-z=-1, умноженное на 2, получим - 4z=-12, z=3. Итак получаем систему уравнений:
х+у+z=6z=3, которая равносильна данной.
Система такого вида называется треугольной.
Ответ: (1; 2; 3).
3. Решение задач с помощью уравнений и систем уравнений.
Покажем на примерах, как можно решать задачи с помощью уравнений и систем уравнений.
Пример 1. Сплав олова и меди массой 32 кг содержит 55% олова. Сколько чистого олова надо добавить в сплав, чтобы в новом сплаве щсодержалось 60% олова?
Решение. Пусть масса олова, добавленная к исходному сплаву, составляет х кг. Тогда сплав массой (32+х)кг будет содержать 60% олова и 40% меди. Исходный сплав содержал 55% олова и 45% меди, т.е. меди в нем было 32·0,45 кг. Так как масса меди в исходном и новом сплавах одна и та же, то получим уравнение 0,45·32=0,4(32+х).
Решив его, находим х=4, т.е. в сплав надо добавить 4 кг олова.
Пример 2. Задумано двузначное число, у которого цифра десятков на 2 меньше цифры единиц. Если это число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 4 и в остатке 6. Какое число задумано?
Решение. Пусть цифра единиц есть х, тогда цифра десятков равна х-2 (х>2), задуманное число имеет вид 10(х-2)+х=11х-20. Сумма цифр числа х-2+х=2х-2. Следовательно, разделив 11х-20 на 2х-2, получим в частном 4 и в остатке 6. Составляем уравнение: 11х-20=4(2х-2)+6, т.к. делимое равно делителю, умноженному на частное, плюс остаток. Решив это уравнение, получим х=6. Итак, было задумано число 46.
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Цель урока: формирование навыков решения линейных неравенств.
Тип урока: урок изучения нового материала.
Задачи урока:
- Образовательные:
- вспомнить, что такое неравенство;
- вспомнить свойства числовых неравенств;
- выяснить с учащимися, что значит решить неравенство;
- ввести понятие линейного неравенства;
- познакомить учащихся с алгоритмом решения линейных неравенств.
- отработать навыки решения линейных неравенств, применяя алгоритм решения линейных неравенств.
- развитие умения самостоятельно анализировать текст, добывать знания и делать выводы;
- развитие познавательного интереса;
- развитие мышления учащихся;
- развитие умений общаться в группах, сотрудничать и взаимообучать;
- развитие правильной речи учащихся.
Ход урока
1 этап. Мотивационный
Учитель обращается к классу: «Серьезность изучаемых в школе предметов не мешает нам творчески переосмысливать новые знания. Думая о сегодняшнем уроке, я почти случайно зарифмовала свои размышления. Послушайте, что у меня получилось, и попробуйте определить тему урока».
В математике - соотношенье между числами и выраженьями,
В них и знаки для сравнения: меньше, больше иль равно?
Я вам дам одну подсказку, вполне полезную возможно,
Мир объединяет равенство, частица «не» указывает на …… (неравенство)
Итак, тема урока «Неравенства ».
2 этап. Изучение нового материала
Стадия осмысления: (5 мин) (добывание учащимися знаний)
(применяю прием маркировки текста «Инсерт» - учащиеся читают текст, вникают в него, делают специальные пометки)
Отмечают «+» то, что им уже известно , «-» то, что новое, не знакомо .
Текст
Неравенство – это два числа или выражения, соединенные одним из знаков:
- > (больше),
- < (меньше),
- ≤ (меньше или равно),
- ≥ (больше или равно),
- ≠ (не равно).
Линейное неравенство – это неравенство вида ax + b > 0 (или ax + b < 0) , где а и b – любые числа, причем а ≠ 0 .
Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство. Например, х + 5 < 17. Подставив вместо х значение 1 , получим 1+ 5 < 17, 6 < 17 – верное числовое неравенство. Значит, х = 1 – решение данного неравенства.
Решить неравенство – это значит найти все его решения или доказать, что решений нет.
Свойства числовых неравенств:
- Если а > b и b > c, то а > с.
- Если а > b, то а + с > b + с.
- Если а > b и m > 0, то аm > bm;
Если а > b и m < 0 , то am < bm. - Если а > b и с > d, то a + c > b + d.
- Если а > b и с > d, то ac > bd, где а, b, c, d – положительные числа.
- Если а > b, а и b – неотрицательные числа, то aⁿ > bⁿ , n – любое натуральное число.
Алгоритм решения линейных неравенст | Пример:
решить неравенство 5(х – 3) > 2х - 3 |
---|---|
1. Раскрыть скобки: | 5х – 15 > 2х - 3 |
2. Перенести все слагаемые с х влево, а числа вправо, меняя при этом знак на противоположный: | 5х – 2х > -3 + 15 |
3. Привести подобные слагаемые: | 3х > 12 |
4. Разделить обе части неравенства на число, стоящее перед х (если это число положительное, то знак неравенства не меняется; если это число отрицательное, то знак неравенства меняется на противоположный): | 3х > 12: 3 х > 4 |
5. Перейти от аналитической модели х > 4 к геометрической модели: | |
6. Указать множество решений данного неравенства, записав ответ: | Ответ: (4; +∞) |
Фаза рефлексии: (беседа с классом по вопросам)
Учитель составляет «Кластер» на доске.
- Что из того, что вы прочитали, вам уже было знакомо?
- Что из того, что вы прочитали, оказалось новой информацией?
- А что вам напоминает алгоритм решения линейного неравенства? (решение линейного уравнения, за исключением создания геометрической модели и записи ответа)
Судя по этой схеме, вы уже многое знаете о неравенствах, а сегодня на уроке мы расширим эти знания.
3 этап. Закрепление нового материала (отработка навыков решения линейных неравенств)
Стратегия «Зигзаг»: (в группе по 5 человек, 5 групп) отработка навыков решения линейных уравнений: каждый ученик получает свое неравенство, решает, применяя алгоритм решения линейного неравенства, затем обсуждение в группах и объяснение другим ученикам.
1. Попытка решить самому!!! 5 мин
Задание: Решить неравенство и изобразить множество его решений на координатной прямой.
№1. 17 – х > 2∙(5 – 3х)
№2. 2∙(32 – 3х) ≥ 1- х
№3. 8 + 5х ≤ 3∙(7 + 2х)
№4. 2∙(0,1х – 1) < 7 – 0,8х
№5. 5х + 2 ≤ 1 – 3∙(х + 2)
2. Разбор задания в группе. 5 мин
Переходят в экспертные группы с одинаковым заданием. Обсуждают решения, консультируют друг друга и исправляют свои ошибки, если они есть. Необходимо, чтобы каждый понял решение своего неравенства.
Учитель выступает в роли консультанта.
(Ученик сам – группа учеников – учитель)
3. Взаимообучение. 5-7 мин Ученики возвращаются на свои места и рассказывают ход решения своего неравенства по очереди другим, идет запись в тетрадь неравенств.
Задача группы: чтобы каждый овладел алгоритмом решения линейных неравенств.
После того, как ученики готовы идет самопроверка нескольких неравенств через ИКТ, нескольких у доски.
Обсуждение (беседа): Кто верно выполнил решение всех неравенств («один за всех и все за одного ») поднимите руку? Кто допустил ошибки? Где и почему?
Если позволит время: для тех, кто не ошибся решить (или в качестве домашнего задания) творческое задание (одно на выбор) и сделать к нему соответствующий вывод:
1) 2(х + 8) – 5х < 4 – 3х (решения нет)
2)
3) При каких значениях х двучлен 5х – 7 принимает положительные значения?
4 этап. Подведение итогов
Ребята! Чем мы на уроке занимались? Чему учились?
Давайте вспомним: Что значит решить неравенство? Чем мы будем пользоваться при решении неравенства? (обратить еще раз внимание на алгоритм)
Ребята! Как вы думаете, кто сегодня отличился на уроке? (оценивают себя сами)
5 этап. Домашнее задание
П.34 В программе для создания слайдов выполнить презентацию о неравенстве Коши.
Хочу я вам дать совет:
«Через математические знания, полученные в школе, лежит широкая дорога к огромным, почти необозримым областям труда и открытий»
А.И. Маркушевич
Всем спасибо за урок! Желаю успехов!
После получения начальных сведений о неравенствах с переменными, переходим к вопросу их решения. Разберем решение линейных неравенств с одной переменной и все методы для их разрешения с алгоритмами и примерами. Будут рассмотрены только линейные уравнения с одной переменной.
Что такое линейное неравенство?
В начале необходимо определить линейное уравнение и выяснить его стандартный вид и чем оно будет отличаться от других. Из школьного курса имеем, что у неравенств нет принципиального различия, поэтому необходимо использовать несколько определений.
Определение 1
Линейное неравенство с одной переменной x – это неравенство вида a · x + b > 0 , когда вместо > используется любой знак неравенства < , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .
Определение 2
Неравенства a · x < c или a · x > c , с x являющимся переменной, а a и c некоторыми числами, называют линейными неравенствами с одной переменной .
Так как ничего не сказано за то, может ли коэффициент быть равным 0 , тогда строгое неравенство вида 0 · x > c и 0 · x < c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.
Их различия заключаются в:
- форме записи a · x + b > 0 в первом, и a · x > c – во втором;
- допустимости равенства нулю коэффициента a , a ≠ 0 - в первом, и a = 0 - во втором.
Считается, что неравенства a · x + b > 0 и a · x > c равносильные, потому как получены переносом слагаемого из одной части в другую. Решение неравенства 0 · x + 5 > 0 приведет к тому, что его необходимо будет решить, причем случай а = 0 не подойдет.
Определение 3
Считается, что линейными неравенствами в одной переменной x считаются неравенства вида a · x + b < 0 , a · x + b > 0 , a · x + b ≤ 0 и a · x + b ≥ 0 , где a и b являются действительными числами. Вместо x может быть обычное число.
Исходя из правила, имеем, что 4 · x − 1 > 0 , 0 · z + 2 , 3 ≤ 0 , - 2 3 · x - 2 < 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x > 7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 называют сводящимися к линейному.
Как решить линейное неравенство
Основным способом решения таких неравенств сводится к равносильным преобразованиям для того, чтобы найти элементарные неравенства x < p (≤ , > , ≥) , p являющееся некоторым числом, при a ≠ 0 , а вида a < p (≤ , > , ≥) при а = 0 .
Для решения неравенства с одной переменной, можно применять метода интервалов или изображать графически. Любой из них можно применять обособленно.
Используя равносильные преобразования
Чтобы решить линейное неравенство вида a · x + b < 0 (≤ , > , ≥) , необходимо применить равносильные преобразования неравенства. Коэффициент может быть равен или не равен нулю. Рассмотрим оба случая. Для выяснения необходимо придерживаться схемы, состоящей из 3 пунктов: суть процесса, алгоритм, само решение.
Определение 4
Алгоритм решение линейного неравенства a · x + b < 0 (≤ , > , ≥) при a ≠ 0
- число b будет перенесено в правую часть неравенства с противоположным знаком, что позволит прийти к равносильному a · x < − b (≤ , > , ≥) ;
- будет производиться деление обеих частей неравенства на число не равное 0 . Причем, когда a является положительным, то знак остается, когда a – отрицательное, меняется на противоположный.
Рассмотрим применение данного алгоритма на решении примеров.
Пример 1
Решить неравенство вида 3 · x + 12 ≤ 0 .
Решение
Данное линейное неравенство имеет a = 3 и b = 12 . Значит, коэффициент a при x не равен нулю. Применим выше сказанные алгоритмы, решим.
Необходимо перенести слагаемое 12 в другую часть неравенства с изменением знака перед ним. Тогда получаем неравенство вида 3 · x ≤ − 12 . Необходимо произвести деление обеих частей на 3 . Знак не поменяется, так как 3 является положительным числом. Получаем, что (3 · x) : 3 ≤ (− 12) : 3 , что даст результат x ≤ − 4 .
Неравенство вида x ≤ − 4 является равносильным. То есть решение для 3 · x + 12 ≤ 0 – это любое действительное число, которое меньше или равно 4 . Ответ записывается в виде неравенства x ≤ − 4 , или числового промежутка вида (− ∞ , − 4 ] .
Весь выше прописанный алгоритм записывается так:
3 · x + 12 ≤ 0 ; 3 · x ≤ − 12 ; x ≤ − 4 .
Ответ: x ≤ − 4 или (− ∞ , − 4 ] .
Пример 2
Указать все имеющиеся решения неравенства − 2 , 7 · z > 0 .
Решение
Из условия видим, что коэффициент a при z равняется - 2 , 7 , а b в явном виде отсутствует или равняется нулю. Первый шаг алгоритма можно не использовать, а сразу переходить ко второму.
Производим деление обеих частей уравнения на число - 2 , 7 . Так как число отрицательное, необходимо поменять знак неравенства на противоположный. То есть получаем, что (− 2 , 7 · z) : (− 2 , 7) < 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .
Весь алгоритм запишем в краткой форме:
− 2 , 7 · z > 0 ; z < 0 .
Ответ: z < 0 или (− ∞ , 0) .
Пример 3
Решить неравенство - 5 · x - 15 22 ≤ 0 .
Решение
По условию видим, что необходимо решить неравенство с коэффициентом a при переменной x , которое равняется - 5 , с коэффициентом b , которому соответствует дробь - 15 22 . Решать неравенство необходимо, следуя алгоритму, то есть: перенести - 15 22 в другую часть с противоположным знаком, разделить обе части на - 5 , изменить знак неравенства:
5 · x ≤ 15 22 ; - 5 · x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22
При последнем переходе для правой части используется правило деления числе с разными знаками 15 22: - 5 = - 15 22: 5 , после чего выполняем деление обыкновенной дроби на натурально число - 15 22: 5 = - 15 22 · 1 5 = - 15 · 1 22 · 5 = - 3 22 .
Ответ: x ≥ - 3 22 и [ - 3 22 + ∞) .
Рассмотрим случай, когда а = 0 . Линейное выражение вида a · x + b < 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.
Все основывается на определении решения неравенства. При любом значении x получаем числовое неравенство вида b < 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.
Все суждения рассмотрим в виде алгоритма решения линейных неравенств 0 · x + b < 0 (≤ , > , ≥) :
Определение 5
Числовое неравенство вида b < 0 (≤ , > , ≥) верно, тогда исходное неравенство имеет решение при любом значении, а неверно тогда, когда исходное неравенство не имеет решений.
Пример 4
Решить неравенство 0 · x + 7 > 0 .
Решение
Данное линейное неравенство 0 · x + 7 > 0 может принимать любое значение x . Тогда получим неравенство вида 7 > 0 . Последнее неравенство считается верным, значит любое число может быть его решением.
Ответ : промежуток (− ∞ , + ∞) .
Пример 5
Найти решение неравенства 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 .
Решение
При подстановке переменной x любого числа получим, что неравенство получит вид − 12 , 7 ≥ 0 . Оно является неверным. То есть 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 не имеет решений.
Ответ: решений нет.
Рассмотрим решение линейных неравенств, где оба коэффициента равняется нулю.
Пример 6
Определить не имеющее решение неравенство из 0 · x + 0 > 0 и 0 · x + 0 ≥ 0 .
Решение
При подстановке любого числа вместо x получим два неравенства вида 0 > 0 и 0 ≥ 0 . Первое является неверным. Значит, 0 · x + 0 > 0 не имеет решений, а 0 · x + 0 ≥ 0 имеет бесконечное количество решений, то есть любое число.
Ответ : неравенство 0 · x + 0 > 0 не имеет решений, а 0 · x + 0 ≥ 0 имеет решения.
Данный метод рассматривается в школьном курсе математики. Метод интервалов способен разрешать различные виды неравенств, также и линейные.
Метод интервалов применяется для линейных неравенств при значении коэффициента x не равному 0 . Иначе придется вычислять при помощи другого метода.
Определение 6
Метод интервалов – это:
- введение функции y = a · x + b ;
- поиск нулей для разбивания области определения на промежутки;
- определение знаков для понятия их на промежутках.
Соберем алгоритм для решения линейных уравнений a · x + b < 0 (≤ , > , ≥) при a ≠ 0 с помощью метода интервалов:
- нахождение нулей функции y = a · x + b , чтобы решить уравнение вида a · x + b = 0 . Если a ≠ 0 , тогда решением будет единственный корень, который примет обозначение х 0 ;
- построение координатной прямой с изображением точки с координатой х 0 , при строгом неравенстве точка обозначается выколотой, при нестрогом – закрашенной;
- определение знаков функции y = a · x + b на промежутках, для этого необходимо находить значения функции в точках на промежутке;
- решение неравенства со знаками > или ≥ на координатной прямой добавляется штриховка над положительным промежутком, < или ≤ над отрицательным промежутком.
Рассмотрим несколько примеров решения линейного неравенства при помощи метода интервалов.
Пример 6
Решить неравенство − 3 · x + 12 > 0 .
Решение
Из алгоритма следует, что для начала нужно найти корень уравнения − 3 · x + 12 = 0 . Получаем, что − 3 · x = − 12 , x = 4 . Необходимо изобразить координатную прямую, где отмечаем точку 4 . Она будет выколотой, так как неравенство является строгим. Рассмотрим чертеж, приведенный ниже.
Нужно определить знаки на промежутках. Чтобы определить его на промежутке (− ∞ , 4) , необходимо произвести вычисление функции y = − 3 · x + 12 при х = 3 . Отсюда получим, что − 3 · 3 + 12 = 3 > 0 . Знак на промежутке является положительным.
Определяем знак из промежутка (4 , + ∞) , тогда подставляем значение х = 5 . Имеем, что − 3 · 5 + 12 = − 3 < 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.
Мы выполняем решение неравенства со знаком > , причем штриховка выполняется над положительным промежутком. Рассмотрим чертеж, приведенный ниже.
Из чертежа видно, что искомое решение имеет вид (− ∞ , 4) или x < 4 .
Ответ : (− ∞ , 4) или x < 4 .
Чтобы понять, как изображать графически, необходимо рассмотреть на примере 4 линейных неравенства: 0 , 5 · x − 1 < 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 > 0 и 0 , 5 · x − 1 ≥ 0 . Их решениями будут значения x < 2 , x ≤ 2 , x > 2 и x ≥ 2 . Для этого изобразим график линейной функции y = 0 , 5 · x − 1 , приведенный ниже.
Видно, что
Определение 7
- решением неравенства 0 , 5 · x − 1 < 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
- решением 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 считается промежуток, где функция y = 0 , 5 · x − 1 ниже О х или совпадает;
- решением 0 , 5 · x − 1 > 0 считается промежуток, гре функция располагается выше О х;
- решением 0 , 5 · x − 1 ≥ 0 считается промежуток, где график выше О х или совпадает.
Смысл графического решения неравенств заключается в нахождении промежутков, которое необходимо изображать на графике. В данном случае получаем, что левая часть имеет y = a · x + b , а правая – y = 0 , причем совпадает с О х.
Определение 8Построение графика функции y = a · x + b производится:
- во время решения неравенства a · x + b < 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
- во время решения неравенства a · x + b ≤ 0 определяется промежуток, где график изображается ниже оси О х или совпадает;
- во время решения неравенства a · x + b > 0 производится определение промежутка, где график изображается выше О х;
- во время решения неравенства a · x + b ≥ 0 производится определение промежутка, где график находится выше О х или совпадает.
Пример 7
Решить неравенство - 5 · x - 3 > 0 при помощи графика.
Решение
Необходимо построить график линейной функции - 5 · x - 3 > 0 . Данная прямая является убывающей, потому как коэффициент при x является отрицательным. Для определения координат точки его пересечения с О х - 5 · x - 3 > 0 получим значение - 3 5 . Изобразим графически.
Решение неравенства со знаком > , тогда необходимо обратить внимание на промежуток выше О х. Выделим красным цветом необходимую часть плоскости и получим, что
Необходимый промежуток является частью О х красного цвета. Значит, открытый числовой луч - ∞ , - 3 5 будет решением неравенства. Если бы по условию имели нестрогое неравенство, тогда значение точки - 3 5 также являлось бы решением неравенства. И совпадало бы с О х.
Ответ : - ∞ , - 3 5 или x < - 3 5 .
Графический способ решения используется, когда левая часть будет отвечать функции y = 0 · x + b , то есть y = b . Тогда прямая будет параллельна О х или совпадающей при b = 0 . Эти случаю показывают, что неравенство может не иметь решений, либо решением может быть любое число.
Пример 8
Определить из неравенств 0 · x + 7 < = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.
Решение
Представление y = 0 · x + 7 является y = 7 , тогда будет задана координатная плоскость с прямой, параллельной О х и находящейся выше О х. Значит, 0 · x + 7 < = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.
График функции y = 0 · x + 0 , считается y = 0 , то есть прямая совпадает с О х. Значит, неравенство 0 · x + 0 ≥ 0 имеет множество решений.
Ответ : второе неравенство имеет решение при любом значении x .
Неравенства, сводящиеся к линейным
Решение неравенств можно свести к решению линейного уравнения, которые называют неравенствами, сводящимися к линейным.
Данные неравенства были рассмотрены в школьном курсе, так как они являлись частным случаем решения неравенств, что приводило к раскрытию скобок и приведению подобных слагаемых. Для примера рассмотрим, что 5 − 2 · x > 0 , 7 · (x − 1) + 3 ≤ 4 · x − 2 + x , x - 3 5 - 2 · x + 1 > 2 7 · x .
Неравенства, приведенные выше, всегда приводятся к виду линейного уравнения. После чего раскрываются скобки и приводятся подобные слагаемые, переносятся из разных частей, меняя знак на противоположный.
При сведении неравенства 5 − 2 · x > 0 к линейному, представляем его таким образом, чтобы оно имело вид − 2 · x + 5 > 0 , а для приведения второго получаем, что 7 · (x − 1) + 3 ≤ 4 · x − 2 + x . Необходимо раскрыть скобки, привести подобные слагаемые, перенести все слагаемые в левую часть и привести подобные слагаемые. Это выглядит таким образом:
7 · x − 7 + 3 ≤ 4 · x − 2 + x 7 · x − 4 ≤ 5 · x − 2 7 · x − 4 − 5 · x + 2 ≤ 0 2 · x − 2 ≤ 0
Это приводит решение к линейному неравенству.
Эти неравенства рассматриваются как линейные, так как имеют такой же принцип решения, после чего возможно приведение их к элементарным неравенствам.
Для решения такого вида неравенства такого вида необходимо свести его к линейному. Это следует делать таким образом:
Определение 9
- раскрыть скобки;
- слева собрать переменные, а справа числа;
- привести подобные слагаемые;
- разделить обе части на коэффициент при x .
Пример 9
Решить неравенство 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1 .
Решение
Производим раскрытие скобок, тогда получим неравенство вида 5 · x + 15 + x ≤ 6 · x − 18 + 1 . После приведения подобных слагаемых имеем, что 6 · x + 15 ≤ 6 · x − 17 . После перенесения слагаемых с левой в правую, получим, что 6 · x + 15 − 6 · x + 17 ≤ 0 . Отсюда имеет неравенство вида 32 ≤ 0 из полученного при вычислении 0 · x + 32 ≤ 0 . Видно, что неравенство неверное, значит, неравенство, данное по условию, не имеет решений.
Ответ : нет решений.
Стоит отметить, что имеется множество неравенств другого вида, которые могут сводится к линейному или неравенству вида, показанного выше. Например, 5 2 · x − 1 ≥ 1 является показательным уравнением, которое сводится к решению линейного вида 2 · x − 1 ≥ 0 . Эти случаи будут рассмотрены при решении неравенств данного вида.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter