Простейшее обобщение пуассоновского процесса получается при предположении, что вероятности скачков могут зависеть от текущего состояния системы. Это приводит нас к следующим требованиям.

Постулаты. (i) Непосредственный переход из состояния возможен только в состояние .(ii) Если в момент времени система находится в состоянии , то (условная) вероятность одного скачка в последующем коротком интервале времени между и равна тогда как (условная) вероятность более чем одного скачка в этом интервале есть .

Отличительная черта этого предположения заключается в том, что время, которое система проводит в любом конкретном состоянии, не играет никакой роли; возможны внезапные изменения состояния, однако, пока система находится в одном состоянии, она не стареет.

Пусть снова будет вероятностью того, что в момент времени система находится в состоянии . Эти функции удовлетворяют системе дифференциальных уравнений, которую можно вывести при помощи рассуждений предыдущего параграфа с тем лишь изменением, что (5) в предыдущем параграфе заменяется на

Таким образом, мы получим основную систему дифференциальных уравнений

В пуассоновском процессе было естественно предполагать, что в момент времени 0 система выходит из начального состояния . Теперь мы можем допустить более общий случай, когда система выходит из произвольного начального состояния . Тогда получаем, что

Эти начальные условия единственным образом определяют решение системы (2). (В частности, ). Явные формулы для выводились независимо многими авторами, однако для нас они не представляют интереса.

Пример. Радиоактивный распад. В результате испускания частиц или -лучей радиоактивный атом, скажем урана, может превратиться в атом другого вида. Каждый вид представляет собой возможное состояние, и, когда процесс протекает, мы получаем последовательность переходов . Согласно принятым физическим теориям, вероятность перехода остается неизменной, пока атом находится в состоянии , и эта гипотеза находит выражение в нашем исходном предположении. Стало быть, этот процесс описывается дифференциальными уравнениями (2) (факт, хорошо известный физикам). Если – конечное состояние, из которого невозможны никакие другие переходы, то и система (2) обрывается при . (При мы автоматически получаем ).

§ 1. ОБЩИЕ ПРОЦЕССЫ ЧИСТОГО РОЖДЕНИЯ (РАЗМНОЖЕНИЯ) И ПУАССОНОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ

В предыдущих главах были введены основные понятия и рассмотрены методы анализа цепей Маркова с дискретным временем. В этой главе дается краткое обсуждение некоторых важных примеров марковских процессов с дискретным множеством состояний и непрерывным временем.

Точнее, здесь мы будем иметь дело с семейством случайных величин принимающих неотрицательные целочисленные значения. Мы ограничимся случаем, когда марковский процесс со стационарными переходными вероятностями. Таким образом, переходная вероятностная функция при

не зависит от

Обычно при исследовании частных вероятностных моделей физических явлений более естественно описать так называемые инфинитезимальные вероятности, связанные с процессом, а затем вывести из них точное выражение для переходной функции.

В рассматриваемом случае мы будем постулировать вид для малых используя марковское свойство, выведем систему дифференциальных уравнений, которой удовлетворяют при всех являются решением этих уравнений при соответствующих начальных условиях. Напомним, что пуассоновский процесс, введенный в § 2 гл. 1, рассматривался именно таким образом.

Перед тем как перейти к общему процессу чистого рождения, напомним кратко аксиомы, характеризующие пуассоновский процесс.

А. Постулаты пуассоновского процесса

Пуассоновский процесс был рассмотрен в § 2 гл. 1, где было показано, что его можно определить с помощью нескольких простых постулатов. Для того чтобы определить более общие процессы подобного рода, укажем на некоторые свойства, которыми обладает пуассоновский процесс. Пуассоновский процесс - это

марковский процесс, принимающий неотрицательные целочисленные значения и обладающий следующими свойствами:

Свойство (1) можно записать еще так.

Здесь мы изучим некоторую схему марковских процессов с непрерывным временем, называемую процессом гибели и размножения и играющую базовую роль в теории массового обслуживания.

Определение 11.1. Марковский процесс с конечным числом состояний, протекающий в системе S, называется процессом гибели и размножения, если граф ее состояний имеет структуру, представленную на рис. 11.1.

Характеристический признак этого графа состоит в том, что каждое из состояний s 2 ,..., s k ,..., s n l связано стрелками переходов в обе стороны с каждым из своих соседних состояний слева и справа, а первое и последнее состояния Sj и s n связаны стрелками в обе стороны только с одним своим соседним состоянием: соответственно с s 2 и s n _ v Таким образом, система S, в которой протекает процесс гибели и размножения, может из любого своего состояния непосредственно перейти только в одно из его соседних состояний. При этом под «размножением» будем понимать процесс по стрелкам слева направо, а под «гибелью» - процесс по стрелкам справа налево.

Название «процесс гибели и размножения» восходит к математическому моделированию биологических задач о численности популяций, распространении эпидемий и др.

Рассмотрим процесс гибели и размножения с непрерывным временем и с размеченным графом состояний на рис. 11.2.

Матрица плотностей вероятностей переходов процесса гибели и размножения представлена в таблице (с. 124).

Для вероятностей состояний /?,(/), p 2 (t), ...,p k (t), -,Р п _ { (/), P n (t) можно по одному из двух правил, данных в § 4, составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова, которая для данного случая будет иметь вид (11.1):

Если марковский процесс однороден (т.е. пуассоновские потоки стационарны), то плотности вероятностей переходов (интенсивности потоков) Ху в системе (11.1) не зависят от времени t; в противном случае Ху представляют собой некоторые функции времени: Ху = Xy(t).

Система (11.1) решается при начальном распределении вероятностей /7j(0), ..., р п { 0), удовлетворяющих нормировочному условию /?j(0) + ... + /> п (0) = 1. Решение системы (11.1) также должно удовлетворять нормировочному условиюp x {t) +... + p n (t ) = 1 в любой момент времени t.

Из графа состояний однородного процесса гибели и размножения (см. рис. 11.1) непосредственно усматривается эргодичность системы S. Поэтому из марковости процесса, по теореме 10.1, вытекает существование финальных вероятностей состоянийp v ..., р п.

Теорема 11.1. Финальные вероятности p v ..., р п процесса гибели и размножения с непрерывным временем можно вычислить по следующим формулам:

Доказательство: Составим по одному из трех правил, данных в § 10, систему линейных алгебраических уравнений:

(сравните с системой дифференциальных уравнений (11.1)).

Матрица коэффициентов системы (11.4) будет иметь следующий вид:

Для упрощения вида этой матрицы проведем следующие элементарные преобразования ее строк: 1-ю строку прибавим ко 2-й; полученную 2-ю строку прибавим к 3-й и т.д.; полученную (п - 1)-ю строку прибавим к п -й строке. В результате получим матрицу, последняя (п- я) строка которой - нулевая, и потому ее можно отбросить.

Таким образом, предельные вероятности состоянийp v ..., р п удовлетворяют системе линейных алгебраических уравнений, соответствующей матрице (11.5):

и нормировочному условию

Из 1-го уравнения системы (11.6) с учетом (11.3) при к= 2:

Из 2-го уравнения системы (11.6) с учетом (11.8) и (11.3) при к= 3: Из 3-го уравнения системы (11.6) с учетом (11.9) и (11.3) при к = 4: итак далее,

Таким образом, мы доказали справедливость формулы во второй строке (11.2). Для доказательства формулы в первой строке (11.2) подставим (11.8), (11.9), (11.10) в нормировочное условие (11.7):

откуда получим требуемое равенство

Правая часть формулы (11.3) устроена следующим образом: в числителе стоит произведение плотностей вероятностей переходов А,..,

начиная с А 12 12 и кончая Х к _ { к, где второй индекс к множителя Х к _ х к

совпадает с индексом а к, причем первый индекс каждого множителя A.j, начиная со второго А 23 , совпадает со вторым индексом предыдущего множителя; в знаменателе стоит произведение множителей получающееся из произведения в числителе, если в последнем у каждого множителя X.. поменять местами индексы: . г

В терминах матрицы плотностей вероятностей переходов Л правая часть формулы (11.3) представляет собой отношение произведения элементов наддиагонали к произведению элементов поддиагонали квадратной матрицы к -го порядка, составленной из первых к строк и первых к столбцов матрицы А.

В терминах размеченного графа состояний системы S (см. рис. 11.2) правая часть формулы (11.3) есть дробь, числитель которой представляет собой произведение всех плотностей вероятностей переходов по стрелкам слева направо, начиная с первого и кончая к -м состоянием, а знаменатель суть произведение всех плотностей вероятностей обратных переходов по стрелкам справа налево с состояния

S k ДО СОСТОЯНИЯ S J.

В формулах (11.2) все финальные вероятностиp v ..., р п выражены через финальную вероятность р у Можно было бы при решении системы (11.6) выразить их через любую другую предельную вероятность.

Часто нумерацию состояний системы S начинают не с единицы, а с нуля: s Q , s v ..., s n . В этом случае формулы (11.2) и (11.3) приобретают соответственно вид:

Пример 11.1. Данные, полученные при исследование рынка ценных бумаг, показали, что рыночная цена одной акции некоторого акционерного общества может колебаться в пределах от 1000 до 2000 руб. включительно. Рассматривая в качестве системы S одну такую акцию, нас будут интересовать следующие ее пять состояний, характеризующихся рыночной ценой акции:

Sj - от 1000 до 1200 руб.; s 2 - от 1200 до 1400 руб.;

• 5 3 - от 1400 до 1600 руб.; s 4 - от 1600 до 1800 руб.;
• 5 5 - от 1800 до 2000 руб. включительно.

Замечено, что рыночная цена в будущем зависит в основном от ее цены в текущий момент времени. В силу случайных воздействий рынка изменение рыночной цены акции может произойти в любой случайный момент времени, при этом абсолютное изменение цены не превосходит 200 руб. Переходы системы S из одного состояния в другое происходят со следующими плотностями вероятностей переходов, пренебрежимо мало изменяющимися с течением времени:

Требуется спрогнозировать рыночную цену акции на будущее. Стоит ли приобретать акции по цене 1700 руб.?

Так как система S может находиться только в одном из отмеченных пяти состояний, то процесс, протекающий в системе 5, - дискретный.

Поскольку цена акции в будущем существенно зависит от ее цены в настоящем, то данный процесс можно считать марковским.

В силу того что изменение цены акции может происходить в любой случайный момент времени, то процесс в системе S является процессом с непрерывным временем.

Так как абсолютное изменение цены акции не превышает 200 руб., то это означает, что система S может перейти только в соседнее состояние, т.е. перескоков быть не может.

И наконец, поскольку плотности вероятностей переходов можно считать постоянными, то процесс однороден.

Итак, в системе S протекает однородный марковский дискретный процесс с непрерывным временем.

По данной матрице Л построим размеченный граф состояний:

По этому графу видно (это можно было увидеть и по матрице Л), что данный процесс является процессом гибели и размножения. Финальные вероятности p v p v p v p v р 5 существуют. Найдем их по формуле (11.2) при « = 5. Для этого сначала по формуле (11.3) подсчитаем числа а 2 , а 3 , а 4 , а 5 .

Тогда по формуле в первой строке (11.2)

По формулам во второй строке (11.2):

Таким образом, вероятнее всего (р 3 = 16/39 > р р /=1,2,4, 5) система S будет находиться в состоянии s 3 53 , т.е. цена акции будет находиться в пределах от 1400 до 1600 руб. Поэтому покупать эти акции по цене 1700 руб. не стоит. ?

КРАТКИЕ ВЫВОДЫ

• Процесс гибели и размножения определяется как марковский однородный процесс с непрерывным временем, протекающий в системе S, граф конечного числа состояний которой имеет структуру на рис. 11.1.
• Для процесса гибели и размножения существуют финальные вероятности, которые можно найти из формул (11.2) или (11.1).

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА И ВЫРАЖЕНИЯ

Марковский процесс с конечным числом состояний; процесс гибели и размножения; процесс гибели и размножения с непрерывным временем; финальные вероятности состояний системы, в которой протекает процесс гибели и размножения; главная диагональ матрицы; наддиагональ матрицы; поддиагональ матрицы.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

• 1. Дайте определение процесса гибели и размножения.
• 2. Каков характеристический признак структуры графа состояний системы, в которой протекает процесс гибели и размножения?
• 3. Какой вид имеет матрица плотностей вероятностей перехода для процесса гибели и размножения?
• 4. По каким формулам можно подсчитать финальные вероятности для процесса гибели и размножения?

ЗАДАНИЯ К § 11

11.1. Ответить на вопросы в примере 11.1, если матрица плотностей вероятностей переходов имеет вид

ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЮ § 11

класс систем, которые меняют свои состояния в случайные моменты времени . Как и в предыдущем случае, в этих системах рассматривается процесс с дискретными состояниями . Например, переход объекта от исправного состояния к неисправному, соотношение сил сторон в ходе боя и т. п. Оценка эффективности таких систем определяется с помощью вероятностей каждого состояния на любой момент времени , .

Чтобы определить вероятности состояния системы для любого момента времени необходимо воспользоваться математическими моделями марковских процессов с непрерывным временем (непрерывных марковских процессов).

При моделировании состояния систем с непрерывными марковскими процессами мы уже не можем воспользоваться переходными вероятностями , так как вероятность "перескока" системы из одного состояния в другое точно в момент времени равна нулю (как вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины).

Поэтому вместо переходных вероятностей вводятся в рассмотрение плотности вероятностей переходов :

где - вероятность того, что система, находившаяся в момент времени в состоянии за время перейдет в состояние .

С точностью до бесконечно малых второго порядка из приведенной формулы можно представить:

Непрерывный марковский процесс называется однородным ,если плотности вероятностей переходов не зависят от времени (от момента начала промежутка ). В противном случае непрерывный марковский процесс называется неоднородным .

Целью моделирования , как и в случае дискретных процессов, является определение вероятностей состояний системы . Эти вероятности находятся интегрированием системы дифференциальных уравнений Колмогорова.

Сформулируем методику моделирования по схеме непрерывных марковских процессов.

Пример 2.2 . Составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для нахождения вероятностей состояний системы, размеченный граф состояний которой представлен на рис. 2.3 .

Рис. 2.3.

Решение

Очевидно, .

Поэтому любое из первых трех уравнений можно исключить, как линейно зависимое.

Для решения уравнений Колмогорова необходимо задать начальные условия. Для рассмотренного примера 2.2, можно задать такие начальные условия: , .

Однородный марковский процесс с непрерывным временем можно трактовать как процесс смены состояний под влиянием некоторого потока событий. То есть плотность вероятности перехода можно трактовать как интенсивность потока событий, переводящих систему из -го состояния в -е. Такими потоками событий являются отказы техники, вызовы на телефонной станции, рождение и т. п.

При исследовании сложных объектов всегда интересует: возможен ли в исследуемой системе установившейся (стационарный) режим? То есть, как ведет себя система при ? Существуют ли предельные значения ? Как правило, именно эти предельные значения интересуют исследователя.

Ответ на данный вопрос дает теорема Маркова.

Если для однородного дискретного марковского процесса с конечным или счетным числом состояний все , то предельные значения существуют и их значения не зависят от выбранного начального состояния системы.

Применительно к непрерывным марковским процессам теорема Маркова трактуется так: если процесс однородный и из каждого состояния возможен переход за конечное время в любое другое состояние и число состояний счетно или конечно, то предельные значения существуют и их значения не зависят от выбранного начального состояния.

Особенностью модели является наличие прямой и обратной связей с каждым соседним состоянием для всех средних состояний; первое и последнее (крайние) состояния связаны только с одним "соседом" (с последующим и предыдущим состояниями соответственно).

Название модели - "гибель и размножение" - связано с представлением, что стрелки вправо означают переход к состояниям, связанным с ростом номера состояния ("рождение"), а стрелки влево - с убыванием номера состояний ("гибель").

Очевидно, стационарное состояние в этом процессе существует. Составлять уравнения Колмогорова нет необходимости, так как структура регулярна, необходимые формулы приводятся в справочниках, а также в рекомендованной литературе.

Рис. 2.6.

Интенсивности потоков отказов;

Интенсивности потоков восстановлений.

Пусть среднее время безотказной работы каждого компьютера , а среднее время восстановления одного компьютера .

Тогда интенсивность отказов одного компьютера будет равна , а интенсивность восстановления одного компьютера - .

В состоянии работают оба компьютера, следовательно:

В состоянии работает один компьютер , значит:

В состоянии восстанавливается один компьютер , тогда:

В состоянии восстанавливаются оба компьютера:

Используем зависимости (2.2). Вероятность состояния, когда обе машины исправны:

Вероятность второго состояния (работает один компьютер ):

Аналогично вычисляется и . Хотя найти можно и так:

Пример 2.4 . В полосе объединения работают передатчики противника. Подразделение операторов-связистов армейской контрразведки ведет поиск передатчиков по их радиоизлучениям. Каждый оператор, обнаружив передатчик противника, следит за его частотой, при этом новым поиском не занимается. В процессе слежения частота может быть потеряна, после чего оператор снова осуществляет поиск .

Разработать математическую модель для определения эффективности службы подразделения операторов. Под эффективностью понимается среднее число обнаруженных передатчиков за установленный промежуток времени.

Решение

Будем считать, что наши операторы и радисты противника обладают высокой квалификацией, хорошо натренированы. Следовательно, можно принять, что интенсивности обнаружения частот передатчиков противника и потерь слежения - постоянны. Обнаружение частоты и ее потеря зависят только от того, сколько запеленговано передатчиков в настоящий момент и не зависят от того, когда произошло это пеленгование. Следовательно, процесс обнаружения и потерь слежения за частотами можно считать непрерывным однородным марковским процессом.

Исследуемое свойство этой системы пеленгации: загруженность операторов, что, очевидно, совпадает с числом обнаруженных частот.

Введем обозначения:

Количество операторов;

Количество передатчиков противника, полагаем ;

Среднее число операторов, ведущих слежение ;

Среднее число запеленгованных передатчиков;

Интенсивность пеленгации передатчика противника одним оператором;

Интенсивность потока потерь слежения оператором;

Текущая численность запеленгованных передатчиков .

В системе пеленгации возможны следующие состояния:

Запеленгованных передатчиков нет, поиск ведут операторов, вероятность состояния ;

Введение 3

Теоретическая часть 4

Практическая часть 9

Заключение 13

Собственые мысли. 13

Список литературы 14

Введение

В данной теоретико-практической работе будет рассмотрена схема непрерывных марковских цепей – так называемая «схема гибели и размножения»

Данная тема крайне актуальна ввиду высокой значимости марковских процессов в исследовании экономических, экологических и биологических процессов, кроме того, марковские процессы лежат в основе теории массового обслуживания, которая в настоящее время активно используется в различных экономических направлениях, в том числе управлении процессами на предприятии.

Марковские процессы гибели и размножения находят широкое применение в объяснении различных процессов происходящих в биосфере, экосистеме и т.д. Надо отметить, что данный тип марковских процессов получил свое название именно вследствие широкого применения в биологии, в частности моделируя гибель и размножение особей различных популяций.

В данной работе будут использованы процессы гибели и размножения при решении задачи, целью которой является нахождение приблизительного количества пчел в отдельно взятой популяции.

Теоретическая часть

В рамках теоретической части будут написаны алгебраические уравнения для предельных вероятностей состояний. Очевидно, что если две непрерывные цепи Маркова имеют одинаковые графы состояний и различаются только значениями интенсивностей ,

то можно сразу найти предельные вероятности состояний для каждого из графов в отдельности, достаточно составить и решить в буквенном виде уравнения для одного из них, а затем подставить вместо соответствующие значения. Для многих часто встречающихся форм графов линейные уравнения легко решаются в буквенном виде.

В данной работе будет описана схема непрерывных марковских цепей - так называемая «схема гибели и размножения».

Марковская непрерывная цепь называется «процессом гибели и размножения», если ее граф состояний имеет вид, представленный на рис. 1.1, т. е. все состояния можно вытянуть в одну цепочку, в которой каждое из средних состояний (S 2 , ..., S n-1) связано прямой и обратной связью с каждым из соседних состояний, а крайние состояния (S 1 , S n) - только с одним соседним состоянием.

Для записи алгебраических уравнений для предельных вероятностей состояний возьмем некую задачу.

Пример. Техническое устройство состоит из трех одинаковых узлов; каждый из них может выходить из строя (отказывать); отказавший узел немедленно начинает восстанавливаться. Состояния системы нумеруем по числу неисправных узлов:

S 0 - все три узла исправны;

S 1 - один узел отказал (восстанавливается), два исправны;

S 2 - Два узла восстанавливаются, один исправен;

S 3 - все три узла восстанавливаются.

Граф состояний показан на рис. 1.2. Из графа видно, что процесс, протекающий в системе, представляет собой процесс «гибели и размножения».

Схема гибели и размножения очень часто встречается в самых разнообразных практических задачах; поэтому имеет смысл заранее рассмотреть эту схему в общем виде и решить соответствующую систему алгебраических уравнений с тем, чтобы в дальнейшем, встречаясь с конкретными процессами, протекающими по такой схеме, не решать задачу каждый раз заново, а пользоваться уже готовым решением.

Итак, рассмотрим случайный процесс гибели и размножения с графом состояний, представленным на рис. 1.3

Напишем алгебраические уравнения для вероятностей состояний. Для первого состояния S 1 имеем:

Для второго состояния S 2 суммы членов, соответствующих входящим и выходящим стрелкам, равны:

Но, в силу (1.2), можно сократить справа и слева равные друг другу члены и получим:

Одним словом, для схемы гибели и размножения члены, соответствующие стоящим друг над другом стрелкам, равны между собой:

где k принимает все значения от 2 до n.

Итак, предельные вероятности состояний р ъ р 2 > ..., р п в любой схеме гибели и размножения удовлетворяют уравнениям:

(1.4)

и нормировочному условию:

Решим эту систему следующим образом: из первого уравнения (1.4) выразим р 2:

из второго, с учетом (1.6), получим

(1.7)

из третьего, с учетом (1.7):

Эта формула справедлива для любого k от 2 до п.

Обратим внимание на ее структуру. В числителе стоит произведение всех плотностей вероятности перехода (интенсивностей) стоящих у стрелок, направленных слева направо, с начала и вплоть до той, которая идет в состояние S k ; в знаменателе - произведение всех интенсивностей , стоящих у стрелок, идущих справа налево, опять-таки, с начала и вплоть до стрелки, исходящей из состояния S k . При k=n в числителе будет стоять произведение интенсивностей , стоящих у всех стрелок, идущих слева направо, а в знаменателе - у всех стрелок, идущих справа налево.

Итак, все вероятности выражены через одну из них: . Подставим эти выражения в нормировочное условие: . Получим:

Остальные вероятности выражаются через

(1.10)

Таким образом, задача «гибели и размножения» решена в общем виде: найдены предельные вероятности состояний.

Практическая часть

Процессы Маркова, в частности гибели и размножения, используют для описания работы и анализа широкого класса систем с конечным числом состояний, в которых происходят неоднократные переходы из одного состояния в другое под воздействием каких-либо причин. В таких системах они происходят случайным образом, скачкообразно в произвольный момент времени, когда наступают некоторые события (потоки событий). Как правило, они бывают двух типов: одно из них условно называют рождением объекта, а второе - его гибелью.

Естественное размножение пчелиных семей - роение - с точки зрения протекающих в системе в текущий момент времени процессов можно рассматривать как вероятностный процесс, когда семья в определенный момент времени может перейти из рабочего состояния в роевое. В зависимости от различных факторов, как контролируемых технологических, так и слабоконтролируемых биологических и климатических, оно может закончиться роением или возвратом семьи в рабочее состояние. При этом семья может неоднократно переходить то в одно, то в другое состояние. Таким образом, для описания математической модели процесса роения допустимо применять теорию однородных процессов Маркова.

Интенсивность перехода пчелиной семьи в роевое состояние - размножение - в значительной мере определяется темпами накопления молодых бездеятельных пчел. Интенсивность обратного перехода - «гибели» - возвращением семьи в рабочее состояние, которая, в свою очередь, зависит собственно от роения, отбора расплода и пчел (формирование отводков), количества собираемого нектара и т.д.

Вероятность перехода пчелиной семьи в роевое состояние в первую очередь будет определяться интенсивностью проходящих в ней процессов, приводящих к роению λ, и противороевых приемов μ, которые зависят от технологий, используемых для снижения ройливости семей. Следовательно, чтобы влиять на обсуждаемые процессы, необходимо изменить интенсивность и направленность потоков λ и μ (рис. 1).

Моделирование отбора из семьи части пчел (увеличения их «гибели») показало, что вероятность возникновения рабочего состояния логарифмически возрастает, а вероятность роения логарифмически сокращается. При противороевом приеме - отборе из семьи 5–7 тыс. пчел (две-три стандартные рамки) - вероятность роения составит 0,05, а вероятность рабочего состояния - 0,8; отбор более трех рамок с пчелами снижает вероятность роения на очень малую величину.

Решим практическую задачу, касающуюся процесса роения у пчел.

Для начала построим граф, похожий на граф на рис 1, с интенсивностями перехода в то или иное состояние.

Меем следующий граф, представляющий собой процесс гибели и размножения.

Где - это рабочее состояние, - роевое состояние, - роение.

Имея интенсивности перехода в то или иное состояние, можем найти предельные вероятности состояний для данного процесса.

Используя формулы, приведенные в теоретической части находим:

Получив предельные вероятности состояний, можем свериться с таблицей с целью нахождения приблизительного числа особей (сот шт. пчел) и количество отобранных рамок с расплодом, получаем, что, скорее всего, было отобрано 5000 пчел и одна рамка с расплодом.

Заключение

Подведем итог.

В данной работе была приведена теоретическая справка, а также практическое применение марковским процессам гибели и размножения на примере пчелиной популяции, также была решена практическая задача с использованием марковского процесса гибели и размножения.

Было показано, что марковские процессы имеют прямое отношение ко многим процессам, происходящим в окружающей среде и в экономике. Также марковские процессы лежат в основе теории массового обслуживания, которая в свою очередь является незаменимой в экономике, в частности при управлении предприятием и различными процессами, происходящими в нем.

Собственые мысли.

На мой взгляд марковские процессы гибели и размножения безусловно полезны в различных сферах деятельности человека, но у них есть ряд недостатков, в частности система из любого своего состояния непосредственно может перейти только в соседнее с нею состояние. Данный процесс не отличается особой сложностью и сфера его применения немного узко-специализирована, но, тем не менее, данный процесс может использоваться в сложных моделях в качестве одного из компонента новой модели, например при моделировании документооборота в компании, задействовании станков в цеху и так далее.

Реферат >> Биология

Половое и бесполое размножение . При бесполом размножении новый организм возникает из... . Если несколько сперматозоидов – гибель клетки. Ядро сперматозоида набухает, ... . Пол будущего организма определяется в процессе онтогенеза. У человека имеет место...

Процессы горения и взрыва

Книга >> Химия

Горения с прикладными науками о безопасности технологических процес­сов и строительных объектов. Книга предназначена в качестве... при пожаре, пожарная безопасность техноло­гических процессов , производственная и пожарная автоматика, прогно­зирование опасных...

Решение задач по теории вероятности

Реферат >> Математика

Главе рассматриваются: определение случайного процесса и его характеристики, понятие... узлов очевидна. Пример 7.6 Процесс гибели и размножения представлен графом (рис.7.8). ... нормированную корреляционную функции случайного процесса . Построить граф состояний...

Биология (8)

Реферат >> Биология

Клеток материнского организма в процессе размножения . Локализация в ядрах клеток, участвующих в размножении , генов и хромосом, ... выживанию одних и гибели других особей. 4. Естественный отбор - процесс сохранения и размножения особей с наследственными...